【复试】2024年 北方工业大学《常微分方程（加试）》考研复试精品资料

【笔试】2024年北方工业大学常微分方程（加试）考研复试精品资料

说明：本套考研复试资料由本机构多位高分研究生潜心整理编写，2024年考研复试首选资料。

一、2024年北方工业大学常微分方程（加试）考研复试资料

1．林武忠《常微分方程》考研复试相关资料

（1）林武忠《常微分方程》考研复试核心题库（含答案）

①北方工业大学常微分方程（加试）考研复试核心题库之计算题精编。

说明：本题库涵盖了该复试科目常考题型及重点题型，根据复试考试要求进行了分类整理汇编并给出了详细答案解析，针对性强，是考研复试重要资料。

（2）林武忠《常微分方程》考研复试模拟题［仿真+预测+冲刺］

①2024年北方工业大学常微分方程（加试）考研专业课复试五套仿真模拟题。

说明：严格按照本科目最新复试题型和难度出题，共五套全仿真模拟试题含答案解析，复试重要资料。②2024年北方工业大学常微分方程（加试）考研复试终极预测五套题及详细答案解析。

说明：复试复习效果检测使用。共五套核心题库，均含有详细答案解析，考研复试复习重要资料。③2024年北方工业大学常微分方程（加试）考研复试冲刺狂背五套题及详细答案解析。

说明：考研复试冲刺预测。共五套冲刺预测试题，均有详细答案解析，最后冲刺重要资料。

二、复试资料

2．本套考研复试资料包含以上一、二部分（不含教材）考研云平台特别说明：

①本套复试资料由本机构编写组按照考研复试大纲、复试真题（回忆）、指定参考书等公开信息整理收集编写，仅供考研复试复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们将立即处理。②复试资料中若含有真题及课件为免费赠送，仅供参考，版权归属学校及制作老师，在此对版权所有者表示感谢，如有异议及不妥，请联系我们，我们将无条件立即处理！资料若有更新，免费赠送电子版。

三、2024年研究生入学考试复试指定/推荐参考书目（资料不包括教材）3．北方工业大学常微分方程（加试）考研复试参考书

《常微分方程》，林武忠、汪志鸣、张九超编，第一版，2003年。

版权声明

编写组依法对本书享有专有著作权，同时我们尊重知识产权，对本电子书部分内容参考和引用的市面上已出版或发行图书及来自互联网等资料的文字、图片、表格数据等资料，均要求注明作者和来源。但由于各种原因，如资料引用时未能联系上作者或者无法确认内容来源等，因而有部分未注明作者或来源，在此对原作者或权利人表示感谢。若使用过程中对本书有任何异议请直接联系我们，我们会在第一时间与您沟通处理。

因编撰此电子书属于首次，加之作者水平和时间所限，书中错漏之处在所难免，恳切希望广大考生读者批评指正。

目录

封面.............................................1

目录.............................................3

2024年北方工业大学常微分方程（加试）复试备考信息....................4

北方工业大学常微分方程（加试）考研复试参考书目.......................4

2024年北方工业大学常微分方程考研复试核心题库......................5

《常微分方程》考研核心题库之计算题精编..........................5

2024年北方工业大学常微分方程（加试）考研复试题库［仿真+强化+冲刺］..........29

北方工业大学常微分方程（加试）考研复试五套仿真模拟题...................29

2024年常微分方程复试五套仿真模拟题及详细答案解析（一）...............29

2024年常微分方程复试五套仿真模拟题及详细答案解析（二）...............32

2024年常微分方程复试五套仿真模拟题及详细答案解析（三）...............36

2024年常微分方程复试五套仿真模拟题及详细答案解析（四）...............40

2024年常微分方程复试五套仿真模拟题及详细答案解析（五）...............43

北方工业大学常微分方程（加试）考研复试终极预测五套题...................46

2024年常微分方程复试终极预测五套题及详细答案解析（一）...............46

2024年常微分方程复试终极预测五套题及详细答案解析（二）...............50

2024年常微分方程复试终极预测五套题及详细答案解析（三）...............54

2024年常微分方程复试终极预测五套题及详细答案解析（四）...............58

2024年常微分方程复试终极预测五套题及详细答案解析（五）...............62

北方工业大学常微分方程（加试）考研复试冲刺狂背五套题...................66

2024年常微分方程复试冲刺狂背五套题及详细答案解析（一）...............66

2024年常微分方程复试冲刺狂背五套题及详细答案解析（二）...............70

2024年常微分方程复试冲刺狂背五套题及详细答案解析（三）...............73

2024年常微分方程复试冲刺狂背五套题及详细答案解析（四）...............77

2024年常微分方程复试冲刺狂背五套题及详细答案解析（五）...............81

2024年北方工业大学常微分方程（加试）复试备考信息

北方工业大学常微分方程（加试）考研复试参考书目

《常微分方程》，林武忠、汪志鸣、张九超编，第一版，2003年。

2024年北方工业大学常微分方程考研复试核心题库

《常微分方程》考研核心题库之计算题精编

1．摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至v13米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。

【答案】Fmamdv，又Fk1v，由此dt

dv

mkv

dt1

即dvkv

dt

其中kk1，解之得

lnvktc

又t0时，v5；t2时，v3。

13

故得kln，cln5

205

3t

从而方程可化为v5（3）20

120

当t260120时，有v（20）5（3）200.23328米/秒

即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。

2．证明非齐线形方程的叠加原理：设x1t，x2t分别是非齐线形方程

nxa1tn1xantxf1t（1）

dnxdn1x

na1tn1antxf2t（2）

dnxdn1x

的解，则x1t+x2t是方程dnxa1tdn1xantxf1t+f2t的解。

【答案】由题可知x1t，x2t分别是方程（1），（2）的解

则：x1ta1tx1tatx1tf1t（3）

dtn1dtn1n11

dx2ta1tdx2tatx2tf2t(4)

dtn1dtn1n22

那么由(3)+(4)得：

dnx1tx2tdn1x1tx2t+

na1tn1antx1tx2tf1t+f2t

dtndtn1

nn1

即x1t+x2t是方程是dtna1tdtn1antxf1t+f2t的解。

3．解方程

x4ydx2xdyy33ydx5xdy0

【答案】两边同乘以x2y得：

4x3y2dx2x4ydy3x2y5dx5x3ydy0

dx4y2dx3y50

故方程的通解为：x4y2x3y5c

4．设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)g(u)，\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])1

【答案】在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得：

uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0

则

uyffuf

yuuyyyyxy(fg)

+xy(yffyg)

x2y2(fg)

yfggyffgxygfxy

=yy=xyyxyy

xy(fg)2x(fg)2

(fg)2

而uxg=ug+uxgxx

+xgux=xy(fgg)

x

xy(fg)

y(fg)xyfxyg

-xgxx

xf

gxyxyx

fxygf

xgxyx=fg

xyxy

xy(fg)2(fg)2

故uyyf=uxxg，所以u是方程得一个积分因子

5．

并求出方程的解:

dyyy2

dxxx3

【答案】令yu

x

则：dyuxduu1u2

dxdxx

即xdu1u2

dxx

dudx

得到22

ux

11

故c

ux

1c1即

yxx2

另外y0也是方程的解。

6．

解方程

【答案】，则

所以

另外也是方程的解

7．

求方程的通解.

【答案】方程的特征根为，

齐次方程的通解为

因为不是特征根。所以，

设非齐次方程的特解为

代入原方程，比较系数得

确定出，

原方程的通解为

8．求初值问题：

dy2

dxR：x11，y1

y(1)0

的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；

【答案】因为M=max{x2y2}=4则h=min(a，)=

M4

则解的存在区间为xx0=x(1)=x11

令0(X)=0;

1(x)=y0+(x20)dx=1x3+1;

x033

(x)=y0+[x2(x3)2]dx=x3--x-x+

203339186342

f(x,y)

又2=L

y

则：误差估计为：2(x)(x)M*L22h3=11

9．

解方程：

dy

=ysinxdx

【答案】y=edx(sinxedxdxc)

=ex[-ex(sinxcosx)+c]

=cex-(sinxcosx)是原方程的解。

10．

解方程

2024年北方工业大学常微分方程（加试）考研复试题库［仿真+强化+冲刺］

北方工业大学常微分方程（加试）考研复试五套仿真模拟题

2024年常微分方程复试五套仿真模拟题及详细答案解析（一）

一、解答题

1．讨论方程，的解的存在区间

【答案】

两边积分

所以方程的通解为

故过的解为

通过点的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到2，

所以解的存在区间为

2．

求解常系数线性方程

x//2x/3xetcost

【答案】（1）2230,

12i

齐次方程的通解为x=et(ccos2tcsin2t)

(2)1i不是特征根，故取x(AcostBsint)et

代入方程比较系数得A=5，B=-4

4141

54t于是x(costsint)et

4141

通解为x=et(ccos2tcsin2t)+1(5cost4sint)et

3．求方程经过的第三次近似解

【答案】

4．

设xt和yt是区间atb上的连续函数，证明：如果在区间atb上有xt常数或yt常ytxt

数，

则xt和yt在区间atb上线形无关。

【答案】假设在xt，yt在区间atb上线形相关

则存在不全为零的常数，，使得xtyt0

那么不妨设xt不为零，则有yt



显然为常数，与题矛盾，即假设不成立xt，yt在区间atb上线形无关

5．解方程：

dyxyexxn，n为常数.

dxn

【答案】原方程可化为：dyxyexxn

ndxndx

yex(exxnexdxc)

xn(exc)是原方程的解.

6．

求方程通解

1yye

x

【答案】对应的齐次方程的特征方程为：

210

特征根为：

1,1

故齐次方程的通解为：

yCexCex

因为1是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为

y(x)Axex

代入原方程，有

2AexAxexAxex1ex，

2

可解出

A1

4

故原方程的通解为

yCexCex1xe

x

7．解方程

（ex+3y2）dx+2xydy=0

【答案】exdx+3y2dx+2xydy=0

exx2dx+3x2y2dx+2x3ydy=0

所以，dex（x2-2x+2）+d（x3y2）=0

即d[ex（x2-2x+2）+x3y2]=0

故方程的解为ex（x2-2x+2）+x3y2=C

8．求解方程：

dyxy1

dxxy23

【答案】（x-y+1）dx-（x+y2+3）dy=0

xdx-（ydx+xdy）+dx-y2dy-3dy=0

即dx2-d（xy）+dx-dy3-3dy=0

所以xxyxy3yC

2024年常微分方程复试五套仿真模拟题及详细答案解析（二）

一、解答题

1．设1x,y,2x,y是方程Mx,ydxNx,ydy0的两个积分因子，且12常数，求证

12c（任意常数）是方程Mx,ydxNx,ydy0的通解。

【答案】因为1,2是方程Mx,ydxNx,ydy0的积分因子

所以iMdxiNdyoi1,2为恰当方程

即NiMi

xy

MN

iyx

，i1,2

下面只需证1的全微分沿方程恒为零

2

事实上：

21dx1dy12dx2dy

1xyxy

222

1dxM2dx2dxM2dxxNyxNy

dx

N22

dx

N22

My21

Nx

0

即当1c时，1c是方程的解。证毕！

22

2．解方程

【答案】当时，分离变量得

等式两端积分得

即通解为